逆高斯(inverse Gaussian)模型是所有传统GLM中最不常用的模型，
虽然在GLM家族谱中总能看到逆高斯模型，
但是实际当中却很少使用和讨论。
尽管如此，本书还是单独列出一张讨论逆高斯模型，帮助读者学习和研究。
12.1. 逆高斯分布
在统计学中，逆高斯分布(inverse Gaussian distribution)，又叫 Wald distribution，
是拥有两个参数的连续值分布，其支持域是 \((0,+\infty)\)
。通常其概率密度函数写成：
(12.1.1)\[f(y;\mu,\lambda) = \left ( \frac{\lambda}{ 2\pi y^3 } \right )^{1/2}
\exp \{ -\frac{\lambda(y-\mu)^2}{2 \mu^2 y } \}\]
其中 \(\mu>0\) 是分布的均值参数，
\(\lambda>0\) 是分布的形状参数(shape parameter)。
当 \(\lambda \to \infty\) 时，
逆高斯分布就接近正态分布。
逆高斯分布具有多个与高斯分布相似的属性。
为了直观的了解到逆高斯分布的形状和特点，
我们看下在不同参数值情况下，逆高斯分布图形的差异，
首先我们假设 \(\mu=5.0,\lambda=2.0\)
。
图 12.1.1 \(\lambda=2.0\) 的逆高斯分布
我们看到随着 \(\mu\) 的增大，
现在我们固定 \(\mu=1.0\)
，观察下不同的 \(\lambda\) 值图形的差异
图 12.1.2 \(\mu=1.0\) 的逆高斯分布
尽管分析师在对数据建模时很少使用此逆高斯模型，但有时它比其他连续模型更适合数据。
它特别适合于拟合正值连续数据，这些数据包含低值数据且右偏较长。
与Poisson分布混合以创建稍后讨论的Poisson逆高斯混合模型时，此功能也将非常有用。
see section 14.11.
为了说明未经调整的逆高斯密度函数的形状，我们创建了一组简单的Stata命令，以针对指定的均值和标度参数生成概率密度函数的值。
各种参数值的概率密度函数图显示了灵活性。
高斯分布的两个参数是 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\)
，而上面给出逆高斯分布的参数是 \(\mu\) 和 \(\lambda\)
。实际上，逆高斯分布也可以用 \(\sigma^2\) 表示形状参数，二者的是倒数的关系，
\(\lambda=1/\sigma^2\)
12.2. 逆高斯回归模型
。在GLM中，用 \(\sigma^2\) 会更方便一些，
所以这里用 \(\sigma^2\) 重新参数化逆高斯分布的概率密度函数。
(12.2.1)\[f(y;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi y^3 \sigma^2} }
\exp \{ -\frac{(y-\mu)^2}{2(\mu\sigma)^2 y } \}\]
现在把上式转化成指数族的形式。
(12.2.2)\[ \begin{align}\begin{aligned}f(y;\mu,\sigma^2) &=\exp \left \{
-\frac{ (y-\mu^2)^2 }{2y(\mu\sigma)^2}
-\frac{1}{2} \ln \left ( 2\pi y^3 \sigma^2 \right )
\right \}\\&= \exp \left \{
\frac{ y/(2\mu^2) -1/\mu}{-\sigma^2}
- \frac{1}{2y\sigma^2}
- \frac{ 1}{2 } \ln \left( 2\pi y^3 \sigma^2 \right)
\right \}\end{aligned}\end{align} \]
和GLM中指数族的标准形式对比下，不难得到各个组件的内容。
(12.2.3)\[ \begin{align}\begin{aligned}\theta &= \frac{1}{2\mu^2}\\b(\theta) &= \frac{1}{\mu}\\a(\phi) &= -\sigma^2\end{aligned}\end{align} \]
现在来看下逆高斯分布的期望和方差。
(12.2.4)\[ \begin{align}\begin{aligned}b'(\theta) &= \frac{\partial b}{\partial \mu} \frac{\partial \mu}{\partial \theta}\\&=\left ( \frac{-1}{\mu^2} \right ) (-\mu^3) = \mu\\
b''(\theta) &= \frac{\partial^2 b}{\partial \mu^2}
\left( \frac{\partial \mu}{\partial \theta} \right )^2
+\frac{\partial b}{\partial \mu}
\frac{\partial^2 \mu }{\partial \theta^2}\\&= \left ( \frac{2}{\mu^3} \right ) (\mu^6)
+ \left ( \frac{-1}{\mu^2} \right )(3\mu^5)\\&= 2\mu^3 - 3\mu^3\\&= -\mu^3\end{aligned}\end{align} \]
逆高斯分布的方差为：
(12.2.5)\[Var(Y) = a(\phi)b''(\theta) = -\sigma^2(-\mu^3) = \sigma^2 \mu^3\]
显然逆高斯分布的方差是和其期望相关的。
根据标准连接函数的定义，逆高斯分布的标准连接函数为：
(12.2.6)\[\eta = g(\mu) = \frac{1}{2\mu^2}\]
连接函数的导数为：
(12.2.7)\[g'(\mu) = -\mu^{-3}\]
响应函数 \(r(\eta)\) 为连接函数的反函数。
(12.2.8)\[\mu = r(\eta)=g^{-1}(\eta)=\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\]
总结一下逆高斯模型的关键部分。
(12.2.9)\[ \begin{align}\begin{aligned}\text{标准连接函数：} & \eta= g(\mu) = \frac{1}{2\mu^2}\\\text{反链接(响应)函数：} & \mu=r(\eta) = \frac{1}{\sqrt{2\eta}}\\\text{方差函数：} & \nu= -\mu^3\\\text{分散函数：} & a(\phi) = -\sigma^2\\\text{连接函数导数：} & g'= -\mu^{-3}\end{aligned}\end{align} \]
12.3. 参数估计
12.3.1. 似然函数
逆高斯分布的指数形式去掉底数就得到了对数似然函数。
(12.3.1)\[\ell= \sum_{i=1}^N \left \{
\frac{ y_i/(2\mu^2_i) -1/\mu_i}{-\sigma^2}
- \frac{1}{2y_i\sigma^2}
- \frac{ 1}{2 } \ln \left( 2\pi y^3_i \sigma^2 \right)
\right \}\]
根据 公式(8.1.12)
，标准连接函数的Gamma模型的似然函数的一阶偏导为
(12.3.2)\[ \begin{align}\begin{aligned}U_j = \frac{\partial \ell}{\partial \beta_j}
&= \sum_{i=1}^N \frac{y_i-\mu_i}{a(\phi) \nu(\mu_i) g(\mu_i)' } x_{ij}\\&= - \sum_{i=1}^N \frac{y_i-\mu_i}{\sigma^2 } x_{ij}\end{aligned}\end{align} \]
我们发现逆高斯模型和高斯模型的得分统计量只差了一个负号。
12.3.2. IRLS
逆高斯模型的 \(W\) 和 \(Z\) 分别为
(12.3.3)\[ \begin{align}\begin{aligned}W &= \text{diag} \left \{ \frac{ 1}{ a(\phi) \nu(\hat{\mu}) ( g' )^2}
\right \}_{(N\times N)}\\&= \text{diag} \left \{ \frac{ \hat{\mu}^3}{ \sigma^2}
\right \}_{(N\times N)}\end{aligned}\end{align} \]
(12.3.4)\[ \begin{align}\begin{aligned}Z &= \left \{ (y- \hat{\mu}) g' + \eta
\right \}_{(N\times 1 )}\\ &= \left \{ \frac{-(y- \hat{\mu})}{ \hat{\mu}^3} + \eta
\right \}_{(N\times 1 )}\end{aligned}\end{align} \]
12.3.3. 拟合优度
逆高斯模型的饱和模型的对数似然函数为
(12.3.5)\[ \ell(y,\sigma^2;y)= \sum_{i=1}^n \left \{
- \frac{ 1}{2 } \ln \left( 2\pi y^3_i \sigma^2 \right)
\right \}\]
逆高斯模型的偏差统计量为
(12.3.6)\[ \begin{align}\begin{aligned}D &= 2 \{ \ell(y;y) - \ell(\hat{\mu};y)\}\\&= 2\sum_{i=1}^N \left \{
- \frac{ 1}{2 } \ln \left( 2\pi y^3_i \sigma^2 \right)
\right \}
-
2\sum_{i=1}^N \left \{
\frac{ y_i/(2\hat{\mu}^2_i) -1/\hat{\mu}_i}{-\sigma^2}
- \frac{1}{2y_i\sigma^2}
- \frac{ 1}{2 } \ln \left( 2\pi y^3_i \sigma^2 \right)
\right \}\\&= 2\sum_{i=1}^N \left \{
\frac{ y_i/(2\hat{\mu}^2_i) -1/\hat{\mu}_i}{\sigma^2}
+ \frac{1}{2y_i\sigma^2}
\right \}\\&= \frac{2}{\sigma^2} \sum_{i=1}^N \left \{
y_i/(2\hat{\mu}^2_i) -1/\mu_i
+ \frac{1}{2y_i}
\right \}\\&= \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^N \left \{
\frac{y_i^2-2y_i\hat{\mu}_i+\hat{\mu}_i^2}{\hat{\mu}_i^2 y_i}
\right \}\\
&= \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^N \left \{
\frac{ (y_i-\hat{\mu}_i)^2}{\hat{\mu}_i^2 y_i}
\right \}\end{aligned}\end{align} \]
逆高斯模型的皮尔逊卡方统计量为
(12.3.7)\[ \begin{align}\begin{aligned}\chi^2
&= \sum_{i=1}^N \frac{ (y_i-\hat{\mu}_i)^2}{\nu(\hat{\mu}_i)}\\&= \sum_{i=1}^N \frac{ (y_i-\hat{\mu}_i)^2}{-\hat{\mu}^3}\end{aligned}\end{align} \]