21. 因子分析¶
原始空间的基向量用 \(\vec{i}=[1,0]^T,\vec{j}=[0,1]^T\) 表示，它们的模都是 \(1\)，定义为单位向量。 原始空间的向量可以用这组基底的线性组合表示，比如 \(\vec{\nu} = x\vec{i}+y\vec{j}=[x,y]^T\) 。
矩阵和向量相乘，可以看做是对向量的线性变换， 矩阵的列是线性变换后新的基向量在原空间的位置，
警告
这个新的基向量（矩阵的列向量）仍然是用原空间的基向量 \(\vec{i},\vec{j}\) 描述的。
变换后的向量的坐标数值（结果向量的值）也是表示原空间的坐标。
- 如何得到基于新基向量的坐标值呢？
- (21.1)¶\[A =\]
\(m\times n\) 的矩阵 \(A\)，\(n\) 表示变换后的 \(n\) 个基向量， 但是这 \(n\) 个基向量本身是定义在 \(m\) 维的空间中的。
一个向量 \(\vec{\nu}\)
当 \(m=n\) 时，可以认为变换前后是同一个维度的空间，这意味这个变换仅仅是旋转和拉伸操作，维度没有变化。
当 \(m<n\) 时，变换前向量的坐标由 \(n\) 个点（维度）描述，变换后仅有 \(m\) 维度，意味着原向量会丢失一些维度，也就是降维了。
当 \(m>n\) 时，\(A\) 列空间（ \(n\) 维）是在一个更高维的行空间（ \(m\) 维）中， 列空间的基是用更高维的行空间描述的。列空间的原始向量 \(\vec{\nu}\) 用新的基底（\(A\) 的列向量）去
假设在原始平面空间 \(O_0\) 中的一个向量为 \(\vec{\nu}=[1,1]^T\) ，现在定义一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵 \(A\) 对向量 \(\vec{\nu}\) 进行线性变换， 其中 \(m=3,n=2\),矩阵 \(A\) 具体为
矩阵 \(A\) 的两列 \(A_{c0}=[2,0,1]^T,A_{c1}=[0,2,1]\) 描述了两个向量， 单独看这两个向量，它们是三维空间中的两个向量。 可以在脑海里想象出三位空间中，从原点出发的两个箭头。 现在要用这两个向量（箭头）:math:A_{c0},A_{c1} 去转换平面 \(O_0\) 上的一个向量 \(\vec{\nu}\) 。可以想象如下过程，
通过平移，让 \(A_{c0},A_{c1}\) 的顶端（箭头位置）落在平面 \(O_0\) 上。 落点在平面 \(O_0\) 的位置分别是 \(A_{c0} \rightarrow [2,0]^T,A_{c1} \rightarrow [0,2]^T\)。
我们用符号 \(c_0,c_1\) 分别表示这两个落点，它们在平面 \(O_0\) 上的坐标分别是 \(c_0=[2,0]^T,c_1=[0,2]^T\)。 把这两个落点分别看成是平面 \(O_0\) 上的两个新的基向量，记作 \(\vec{c_0},\vec{c_1}\)。
然后
表示两个新的基向量的的坐标，因为只有两列（两个点，两个基向量），它俩张成的空间是一个平面空间。 因为用矩阵 \(A\) 对向量 \(\vec{\nu}\) 进行线下变换， 所以可以认为矩阵 \(A\) 的列所张成的空间就是 \(\vec{\nu}\) 的原始平面空间， \(A_{c0},A_{c1}\) 的前 \(2\) 行元素，\([2,0]^T,[0,2]^T\)，就是新的基向量在原始平面空间的坐标。