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因子分析
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原始空间的基向量用 :math:`\vec{i}=[1,0]^T,\vec{j}=[0,1]^T`
表示，它们的模都是 :math:`1`，定义为单位向量。
原始空间的向量可以用这组基底的线性组合表示，比如 :math:`\vec{\nu} = x\vec{i}+y\vec{j}=[x,y]^T`
。

矩阵和向量相乘，可以看做是对向量的线性变换，
矩阵的列是线性变换后新的基向量在原空间的位置，

.. warning::

    1. 这个新的基向量（矩阵的列向量）仍然是用原空间的基向量 :math:`\vec{i},\vec{j}` 描述的。
    2. 变换后的向量的坐标数值（结果向量的值）也是表示原空间的坐标。
    3. 如何得到基于新基向量的坐标值呢？
        .. math::

            A =


:math:`m\times n` 的矩阵 :math:`A`，:math:`n` 表示变换后的 :math:`n` 个基向量，
但是这 :math:`n` 个基向量本身是定义在 :math:`m` 维的空间中的。

一个向量 :math:`\vec{\nu}`


- 当 :math:`m=n` 时，可以认为变换前后是同一个维度的空间，这意味这个变换仅仅是旋转和拉伸操作，维度没有变化。
- 当 :math:`m<n` 时，变换前向量的坐标由 :math:`n` 个点（维度）描述，变换后仅有 :math:`m` 维度，意味着原向量会丢失一些维度，也就是降维了。
- 当 :math:`m>n` 时，:math:`A` 列空间（ :math:`n` 维）是在一个更高维的行空间（ :math:`m` 维）中，
  列空间的基是用更高维的行空间描述的。列空间的原始向量 :math:`\vec{\nu}` 用新的基底（:math:`A` 的列向量）去

假设在原始平面空间 :math:`O_0` 中的一个向量为 :math:`\vec{\nu}=[1,1]^T`
，现在定义一个 :math:`m` 行 :math:`n` 列的矩阵 :math:`A` 对向量 :math:`\vec{\nu}` 进行线性变换，
其中 :math:`m=3,n=2`,矩阵 :math:`A` 具体为

.. math::

    A =
    \begin{bmatrix}
    2 & 0 \\
    0 & 2  \\
    1 & 1
    \end{bmatrix}


矩阵 :math:`A` 的两列 :math:`A_{c0}=[2,0,1]^T,A_{c1}=[0,2,1]` 描述了两个向量，
单独看这两个向量，它们是三维空间中的两个向量。
可以在脑海里想象出三位空间中，从原点出发的两个箭头。
现在要用这两个向量（箭头）:math:`A_{c0},A_{c1}` 去转换平面 :math:`O_0` 上的一个向量 :math:`\vec{\nu}`
。可以想象如下过程，

1. 通过平移，让 :math:`A_{c0},A_{c1}` 的顶端（箭头位置）落在平面 :math:`O_0` 上。
   落点在平面 :math:`O_0` 的位置分别是 :math:`A_{c0} \rightarrow [2,0]^T,A_{c1} \rightarrow [0,2]^T`。
2. 我们用符号 :math:`c_0,c_1` 分别表示这两个落点，它们在平面 :math:`O_0` 上的坐标分别是 :math:`c_0=[2,0]^T,c_1=[0,2]^T`。
   把这两个落点分别看成是平面 :math:`O_0` 上的两个新的基向量，记作 :math:`\vec{c_0},\vec{c_1}`。
3. 然后




表示两个新的基向量的的坐标，因为只有两列（两个点，两个基向量），它俩张成的空间是一个平面空间。
因为用矩阵 :math:`A` 对向量 :math:`\vec{\nu}` 进行线下变换，
所以可以认为矩阵 :math:`A` 的列所张成的空间就是 :math:`\vec{\nu}` 的原始平面空间，
:math:`A_{c0},A_{c1}` 的前 :math:`2` 行元素，:math:`[2,0]^T,[0,2]^T`，就是新的基向量在原始平面空间的坐标。