12. 逆高斯模型

逆高斯(inverse Gaussian)模型是所有传统GLM中最不常用的模型， 虽然在GLM家族谱中总能看到逆高斯模型， 但是实际当中却很少使用和讨论。 尽管如此，本书还是单独列出一张讨论逆高斯模型，帮助读者学习和研究。

12.1. 逆高斯分布

在统计学中，逆高斯分布(inverse Gaussian distribution)，又叫 Wald distribution， 是拥有两个参数的连续值分布，其支持域是 $(0,+\mathrm{\infty })$ 。通常其概率密度函数写成：

(12.1.1)$$f(y;\mu ,\lambda )={\left(\frac{\lambda }{2\pi y^3}\right)}^{1/2}\exp \{-\frac{\lambda (y-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}y}\}$$

其中 $\mu >0$ 是分布的均值参数， $\lambda >0$ 是分布的形状参数(shape parameter)。 当 $\lambda \to \mathrm{\infty }$ 时， 逆高斯分布就接近正态分布。 逆高斯分布具有多个与高斯分布相似的属性。

为了直观的了解到逆高斯分布的形状和特点， 我们看下在不同参数值情况下，逆高斯分布图形的差异， 首先我们假设 $\mu =5.0,\lambda =2.0$ 。

图 12.1.1 $\lambda =2.0$ 的逆高斯分布

我们看到随着 $\mu$ 的增大，

现在我们固定 $\mu =1.0$ ，观察下不同的 $\lambda$ 值图形的差异

图 12.1.2 $\mu =1.0$ 的逆高斯分布

尽管分析师在对数据建模时很少使用此逆高斯模型，但有时它比其他连续模型更适合数据。

它特别适合于拟合正值连续数据，这些数据包含低值数据且右偏较长。 与Poisson分布混合以创建稍后讨论的Poisson逆高斯混合模型时，此功能也将非常有用。 see section 14.11.

为了说明未经调整的逆高斯密度函数的形状，我们创建了一组简单的Stata命令，以针对指定的均值和标度参数生成概率密度函数的值。 各种参数值的概率密度函数图显示了灵活性。

高斯分布的两个参数是 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ ，而上面给出逆高斯分布的参数是 $\mu$ 和 $\lambda$ 。实际上，逆高斯分布也可以用 ${\sigma }^2$ 表示形状参数，二者的是倒数的关系， $\lambda =1/{\sigma }^2$

12.2. 逆高斯回归模型

。在GLM中，用 ${\sigma }^2$ 会更方便一些， 所以这里用 ${\sigma }^2$ 重新参数化逆高斯分布的概率密度函数。

(12.2.1)$$f(y;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi y^3{\sigma }^2}}\exp \{-\frac{(y-\mu {)}^2}{2(\mu \sigma {)}^{2}y}\}$$

现在把上式转化成指数族的形式。

(12.2.2)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}f(y;\mu ,{\sigma }^2)& =\exp \{-\frac{(y-{\mu }^2{)}^2}{2y(\mu \sigma {)}^2}-\frac{1}{2}\ln \left(2\pi y^3{\sigma }^2\right)\}\\ & =\exp \{\frac{y/(2{\mu }^2)-1/\mu }{-{\sigma }^2}-\frac{1}{2y{\sigma }^2}-\frac{1}{2}\ln \left(2\pi y^3{\sigma }^2\right)\}\end{array}\end{array}$$

和GLM中指数族的标准形式对比下，不难得到各个组件的内容。

(12.2.3)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\theta & =\frac{1}{2{\mu }^2}\\ b(\theta )& =\frac{1}{\mu }\\ a(\varphi )& =-{\sigma }^2\end{array}\end{array}$$

现在来看下逆高斯分布的期望和方差。

(12.2.4)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{b}^{\prime }(\theta )& =\frac{\partial b}{\partial \mu }\frac{\partial \mu }{\partial \theta }\\ & =\left(\frac{-1}{{\mu }^2}\right)(-{\mu }^3)=\mu \\ b^{″}(\theta )& =\frac{{\partial }^{2}b}{\partial {\mu }^2}{\left(\frac{\partial \mu }{\partial \theta }\right)}^2+\frac{\partial b}{\partial \mu }\frac{{\partial }^2\mu }{\partial {\theta }^2}\\ & =\left(\frac{2}{{\mu }^3}\right)({\mu }^6)+\left(\frac{-1}{{\mu }^2}\right)(3{\mu }^5)\\ & =2{\mu }^3-3{\mu }^3\\ & =-{\mu }^3\end{array}\end{array}$$

逆高斯分布的方差为：

(12.2.5)$$Var(Y)=a(\varphi )b^{″}(\theta )=-{\sigma }^2(-{\mu }^3)={\sigma }^2{\mu }^3$$

显然逆高斯分布的方差是和其期望相关的。

根据标准连接函数的定义，逆高斯分布的标准连接函数为：

(12.2.6)$$\eta =g(\mu )=\frac{1}{2{\mu }^2}$$

连接函数的导数为：

(12.2.7)$$g^{\prime }(\mu )=-{\mu }^{-3}$$

响应函数 $r(\eta )$ 为连接函数的反函数。

(12.2.8)$$\mu =r(\eta )=g^{-1}(\eta )=\frac{1}{\sqrt{2\eta }}$$

总结一下逆高斯模型的关键部分。

(12.2.9)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\text{标准连接函数：}& \eta =g(\mu )=\frac{1}{2{\mu }^2}\\ \text{反链接(响应)函数：}& \mu =r(\eta )=\frac{1}{\sqrt{2\eta }}\\ \text{方差函数：}& \nu =-{\mu }^3\\ \text{分散函数：}& a(\varphi )=-{\sigma }^2\\ \text{连接函数导数：}& g^{\prime }=-{\mu }^{-3}\end{array}\end{array}$$

12.3. 参数估计

12.3.1. 似然函数

逆高斯分布的指数形式去掉底数就得到了对数似然函数。

(12.3.1)$$\ell =\sum _{i=1}^N\{\frac{y_i/(2{\mu }_i^2)-1/{\mu }_i}{-{\sigma }^2}-\frac{1}{2y_i{\sigma }^2}-\frac{1}{2}\ln \left(2\pi y_i^3{\sigma }^2\right)\}$$

根据 公式(8.1.12) ，标准连接函数的Gamma模型的似然函数的一阶偏导为

(12.3.2)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{U}_j=\frac{\partial \ell }{\partial {\beta }_j}& =\sum _{i=1}^N\frac{y_i-{\mu }_i}{a(\varphi )\nu ({\mu }_i)g({\mu }_i{)}^{\prime }}{x}_{ij}\\ & =-\sum _{i=1}^N\frac{y_i-{\mu }_i}{{\sigma }^2}{x}_{ij}\end{array}\end{array}$$

我们发现逆高斯模型和高斯模型的得分统计量只差了一个负号。

12.3.2. IRLS

逆高斯模型的 $W$ 和 $Z$ 分别为

(12.3.3)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}W& =\text{diag}{\left\{\frac{1}{a(\varphi )\nu (\hat{\mu })(g^{\prime }{)}^2}\right\}}_{(N\times N)}\\ & =\text{diag}{\left\{\frac{{\hat{\mu }}^3}{{\sigma }^2}\right\}}_{(N\times N)}\end{array}\end{array}$$

(12.3.4)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}Z& ={\{(y-\hat{\mu })g^{\prime }+\eta \}}_{(N\times 1)}\\ & ={\{\frac{-(y-\hat{\mu })}{{\hat{\mu }}^3}+\eta \}}_{(N\times 1)}\end{array}\end{array}$$

12.3.3. 拟合优度

逆高斯模型的饱和模型的对数似然函数为

(12.3.5)$$\ell (y,{\sigma }^2;y)=\sum _{i=1}^n\{-\frac{1}{2}\ln \left(2\pi y_i^3{\sigma }^2\right)\}$$

逆高斯模型的偏差统计量为

(12.3.6)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}D& =2\{\ell (y;y)-\ell (\hat{\mu };y)\}\\ & =2\sum _{i=1}^N\{-\frac{1}{2}\ln \left(2\pi y_i^3{\sigma }^2\right)\}-2\sum _{i=1}^N\{\frac{y_i/(2{\hat{\mu }}_i^2)-1/{\hat{\mu }}_i}{-{\sigma }^2}-\frac{1}{2y_i{\sigma }^2}-\frac{1}{2}\ln \left(2\pi y_i^3{\sigma }^2\right)\}\\ & =2\sum _{i=1}^N\{\frac{y_i/(2{\hat{\mu }}_i^2)-1/{\hat{\mu }}_i}{{\sigma }^2}+\frac{1}{2y_i{\sigma }^2}\}\\ & =\frac{2}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^N\{y_i/(2{\hat{\mu }}_i^2)-1/{\mu }_i+\frac{1}{2y_i}\}\\ & =\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^N\left\{\frac{y_i^2-2y_i{\hat{\mu }}_i+{\hat{\mu }}_i^2}{{\hat{\mu }}_i^2{y}_i}\right\}\\ & =\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^N\left\{\frac{(y_i-{\hat{\mu }}_i{)}^2}{{\hat{\mu }}_i^2{y}_i}\right\}\end{array}\end{array}$$

逆高斯模型的皮尔逊卡方统计量为

(12.3.7)$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{\chi }^2& =\sum _{i=1}^N\frac{(y_i-{\hat{\mu }}_i{)}^2}{\nu ({\hat{\mu }}_i)}\\ & =\sum _{i=1}^N\frac{(y_i-{\hat{\mu }}_i{)}^2}{-{\hat{\mu }}^3}\end{array}\end{array}$$

12.4. 其它连接函数

类似于伽玛模型，除了标准连接函数， 对数(log)连接函数和恒等(identity)连接函数是也是逆高斯分布经常使用的连接函数。

对于逆高斯，当对持续时间类型的数据进行建模时，恒等连接函数是另一个合适的选择。